Nel caso particolare in cui il vertice si trovi nell'origine, la parabola assume la forma: y ˆ ax 2.

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1 LA PARABOLA Rivedi la teoria La parabola e la sua equazione La parabola eá il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso chiamato fuoco e da una retta fissa chiamata direttrice. Il suo grafico eá simmetrico rispetto alla retta che passa per il fuoco ed eá perpendicolare alla direttrice; il punto di intersezione della parabola con il suo asse di simmetria si chiama vertice. Equazione della parabola con asse parallelo all'asse y L'equazione canonica di questa parabola eá: y ˆ ax bx c con a, b, c coefficienti reali e a 6ˆ 0. Essa ha: b l vertice nel punto V a, a b l fuoco nel punto F a, 1 a b l per asse di simmetria la retta di equazione x ˆ a 1 l per direttrice la retta di equazione y ˆ a essendo ˆ b ac. Inoltre: l se a > 0 la parabola eá concava verso l'alto l se a < 0 la parabola eá concava verso il basso. Nel caso particolare in cui il vertice si trovi nell'origine, la parabola assume la forma: y ˆ ax. Casi particolari In corrispondenza di determinati valori dei coefficienti b e c dell'equazione si evidenziano posizioni particolari della parabola nel piano cartesiano: l se c ˆ 0 l'equazione assume la forma y ˆ ax bx. La parabola passa per l'origine (infatti le coordinate dell'origine, entrambe nulle, soddisfano la sua equazione). l se b ˆ 0 l'equazione assume la forma y ˆ ax c. L'ascissa del vertice eá zero, percioá esso appartiene all'asse delle ordinate. l se b ˆ c ˆ 0 la parabola assume la forma che giaá conosciamo y ˆ ax. Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA LA PARABOLA 1

2 ESERCIZIO GUIDA Date le seguenti parabole, troviamo le coordinate del vertice e del fuoco, l'equazione dell'asse e della direttrice; costruiamone poi il grafico. a. y ˆ 3 x b. y ˆ x x 3 a. La parabola ha vertice nell'origine ed eá a ˆ 3, b ˆ c ˆ 0; essendo a > 0, la parabola eá concava verso l'alto. Per rispondere alle altre richieste calcoliamo prima di tutto il valore di : ˆ ˆ 0! 1 0 Il fuoco ha coordinate: F 0, 3! F 0, 1 6 L'asse di simmetria eá l'asse y. La direttrice ha equazione: y ˆ 1 0 3! y ˆ 1 6 Per costruire il grafico, oltre al vertice, eá necessario conoscere le coordinate di qualche altro punto; attribuiamo ad x valori che si trovano tutti alla destra del vertice e consideriamo poi i loro simmetrici: 3 3 l se x ˆ 1 y ˆ! 1, l se x ˆ y ˆ 6!, 6 3 I loro simmetrici rispetto all'asse della parabola sono i punti 1, e, 6. Il grafico eá in figura. b. In questo caso eá a ˆ 1, b ˆ, c ˆ 3; la parabola eá concava veso l'alto ed eá ˆ 16 1 ˆ. Vertice: x ˆ b ˆ a 1 ˆ y ˆ a ˆ ˆ 1! V, 1 1 Fuoco: x ˆ y ˆ 1 ˆ 1 a 1 ˆ 3! F, 3 Asse: x ˆ Direttrice: y ˆ 1 a ˆ 1 1! y ˆ 5 Per trovare l'ordinata del vertice, si puoá applicare la formula oppure sostituire il valore calcolato dell'ascissa nell'equazione della parabola: x V ˆ y V ˆ 3 ˆ 1 Per tracciare il grafico di questa parabola eá sufficiente disegnare il vertice, l'asse di simmetria e trovare le coordinate di qualche punto; completa la tabella: x y e trova i punti simmetrici rispetto all'asse della parabola. Il grafico eá nella figura a lato. LA PARABOLA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

3 PROVA TU Trova vertice, fuoco, asse e direttrice della parabola y ˆ 3x 6x 1 e costruiscine il grafico. Calcola : ˆ :::::::::: Trova il vertice: x V ˆ ::::::::: y V ˆ ::::::::: V ::::::::: Trova il fuoco: x F ˆ ::::::::: y F ˆ ::::::::: F ::::::::: Trova l'asse: x ˆ ::::::::: Trova la direttrice: y ˆ ::::::::: V 1, ; F 1, 3 1 ; x ˆ 1; y ˆ 5 1 Fai gli esercizi 1 Trova le coordinate del fuoco, l'equazione dell'asse e della direttrice e costruisci il grafico delle seguenti parabole aventi vertice nell'origine: a. y ˆ x F 0, 1, x ˆ 0, y ˆ 1 b. y ˆ x F 0, 1, x ˆ 0, y ˆ c. y ˆ 1 3 x F 0, 3, x ˆ 0, y ˆ 3 d. y ˆ 5 x F 0, 1, x ˆ 0, y ˆ Trova le coordinate del vertice e del fuoco, l'equazione dell'asse e della direttrice e costruisci il grafico delle seguenti parabole: a. y ˆ x 3x V 3, 9, F 3,, x ˆ 3, y ˆ 5 b. y ˆ x x 1 V 1, 7, F 1,1, x ˆ 1, y ˆ 3 c. y ˆ 1 x 1 V 0, 1, F 0, 1, x ˆ 0, y ˆ 3 d. y ˆ x 3 V 0, 3, F 0, 11, x ˆ 0, y ˆ 13 e. y ˆ x x V 1,, F 1, 15, x ˆ 1, y ˆ 17 Rivedi la teoria Equazione della parabola con asse parallelo all'asse x L'equazione canonica della parabola con asse parallelo all'asse x eá x ˆ ay by c con a, b, c coefficienti reali e a 6ˆ 0. Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA LA PARABOLA 3

4 Essendo simmetrica della parabola y ˆ ax bx c rispetto alla bisettrice y ˆ x questa parabola ha: l vertice nel punto V a, b a 1 l fuoco nel punto F, b a a b l per asse di simmetria la retta di equazione y ˆ a 1 l per direttrice la retta di equazione x ˆ a Inoltre: l se a > 0 la parabola volge la concavitaá nella direzione del semiasse positivo delle ascisse l se a < 0 la parabola volge la concavitaá nella direzione del semiasse negativo delle ascisse. Nel caso particolare in cui il vertice si trovi nell'origine, la parabola assume la forma: x ˆ ay. Casi particolari In corrispondenza di determinati valori dei coefficienti b e c dell'equazione si evidenziano posizioni particolari della parabola nel piano cartesiano: l se c ˆ 0 l'equazione assume la forma x ˆ ay by La parabola passa per l'origine (le coordinate dell'origine soddisfano l'equazione della parabola). l se b ˆ 0 l'equazione assume la forma x ˆ ay c L'ordinata del vertice eá zero, percioá esso appartiene all'asse delle ascisse. l se b ˆ c ˆ 0 la parabola assume la forma x ˆ ay che giaá conosciamo. ESERCIZIO GUIDA Troviamo le coordinate del vertice e del fuoco, l'equazione dell'asse e della direttrice e costruiamo il grafico della parabola di equazione x ˆ y y : In questo caso a ˆ 1, b ˆ ec ˆ. PoicheÁ a < 0 la parabola volge la concavitaá nella direzione del semiasse negativo delle ascisse. Calcoliamo il valore di : ˆ b ac ˆ 16 ˆ Possiamo allora dire che: vertice: x ˆ a ˆ 1 ˆ y ˆ b a ˆ 1 ˆ! V, fuoco: x ˆ 1 ˆ 1 a 1 ˆ 7 y ˆ! F 7, asse: y ˆ direttrice: x ˆ 1 a ˆ 1 1 ˆ 9! x ˆ 9 Per trovare l'ascissa del vertice si puoá applicare la formula, oppure si puoá sostituire il valore calcolato dell'ordinata nell'equazione della parabola. LA PARABOLA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

5 Per costruire il grafico troviamo le coordinate di qualche punto attribuendo valori di nostra scelta alla y e calcolando il corrispondente valore di x: x y 0 1 PROVA TU Individua tutte le caratteristiche della parabola x ˆ y 6y 3 e costruiscine il grafico. Calcola : ˆ :::::::::: Trova il vertice: x V ˆ ::::::::: y V ˆ ::::::::: V ::::::::: Trova il fuoco: x F ˆ ::::::::: y F ˆ ::::::::: F ::::::::: Trova l'asse: y ˆ ::::::::: Trova la direttrice: x ˆ ::::::::: " V 3, 3 ; F 11 #, 3 ; y ˆ 3 ; x ˆ 13 Fai gli esercizi 3 Trova le coordinate del vertice e del fuoco, l'equazione dell'asse e della direttrice delle seguenti parabole e costruiscine poi il grafico: a. x ˆ y 3y V 9, 3, F, 3, y ˆ 3, x ˆ 5 b. x ˆ y y 1 V 1, 1, F 7,1, y ˆ 1, x ˆ 9 c. x ˆ y V, 0, F 15,0, y ˆ 0, x ˆ 17 Rivedi la teoria Come determinare l'equazione di una parabola Risolviamo insieme alcuni problemi relativi alla determinazione dell'equazione di una parabola; affincheâ cioá sia possibile dobbiamo disporre di tre condizioni indipendenti percheá tre sono i coefficienti (cioeá a, b, c) dell'equazione da determinare. I Problema: determinare l'equazione di una parabola conoscendo le coordinate di tre suoi punti Sfruttando la condizione di appartenenza di un punto ad una curva impostiamo un sistema di tre equazioni (tre sono i punti per cui passa la parabola), in tre incognite (i coefficienti a, b, c dell'equazione). Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA LA PARABOLA 5

6 ESERCIZIO GUIDA Scriviamo l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che passa per i punti A 1, 1, B, 0, C,. L'equazione generale della parabola eá y ˆ ax bx c La condizione di appartenenza di un punto ad una curva impone che le sue coordinate soddisfino l'equazione della curva; possiamo quindi sostituire l'ascissa di ciascun punto al posto di x, l'ordinata al posto di y e risolvere il sistema nelle tre incognite a, b, c cosõá ottenuto appartenenza del punto A : 1 ˆ a b c appartenenza del punto B : 0 ˆ a b c appartenenza del punto C : ˆ 16a b c Risolvi il sistema ottenuto e trova i coefficienti della parabola. y ˆ 3 x 3x 10 3 PROVA TU Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x che passa per i punti A, 0, B 6, 1, C 0, 1. L'equazione della parabola eá del tipo x ˆ ay by c. < ˆ :::::::::::::::: A Imponi il passaggio per i tre punti: 6 ˆ :::::::::::::::: B : ::: ˆ :::::::::::::::: C Risolvi adesso il sistema ottenuto. x ˆ y 3y Š Rivedi la teoria II Problema: determinare l'equazione di una parabola conoscendo le coordinate del vertice Il problema si puoá risolvere in due modi. I modo. L'equazione della parabola si puoá scrivere in funzione delle coordinate x 0, y 0 del vertice nella forma: l y y0 ˆ ax x 0 se l'asse di simmetria eá parallelo all'asse y l x x0 ˆ ay y 0 se l'asse di simmetria eá parallelo all'asse x PercheÁ il problema sia determinato eá sufficiente aggiungere un'altra informazione indipendente che permetta di calcolare il valore di a. II modo. Le formule per il calcolo del vertice ci consentono di scrivere due equazioni nelle incognite a, b e c : l a seconda che la parabola abbia l'asse di simmetria parallelo all'asse x oppure all'asse y, porre l'ascissa o l'ordinata del vertice uguale a b a 6 LA PARABOLA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

7 l imporre il passaggio della parabola per il vertice. Anche in questo caso occorre aggiungere una informazione che permetta di scrivere la terza equazione del sistema. ESERCIZIO GUIDA Scriviamo l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha vertice in V, 1 e passa per il punto A 0,. I modo. l L'equazione della parabola eá del tipo: y y 0 ˆ ax x 0 l Sostituiamo in essa le coordinate del vertice: y 1 ˆ ax l Nell'equazione ottenuta imponiamo il passaggio per A e troviamo il valore di a: 1 ˆ a 0! a ˆ 3 La parabola ha quindi equazione: y 1 ˆ 3 x! y ˆ 3 x 3x II modo. l L'equazione della parabola ha la forma: y ˆ ax bx c l L'ascissa del vertice eá uguale a : b a ˆ l La parabola passa per il vertice: 1 ˆ a b c! a b c ˆ 1 l La parabola passa per A : ˆ a 0 b 0 c! c ˆ Scriviamo il sistema delle tre equazioni ottenute e risolviamolo: b >< a ˆ >< a ˆ 3! a b c ˆ 1 >: >: b ˆ 3 c ˆ c ˆ La parabola ha quindi equazione: y ˆ 3 x 3x. PROVA TU Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x che ha vertice in V 3, e interseca l'asse x nel punto di ascissa 1. I modo. Scrivi l'equazione in funzione del vertice: x :::::::::: ˆ a y :::::::::: La successiva informazione ci dice che la parabola passa per il punto di coordinate 1, 0. Imponi il passaggio per tale punto e trova il valore di a: Completa adesso l'equazione della parabola. :::::::::: ˆ a ::::::::::! a ˆ :::::::::: Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA LA PARABOLA 7

8 II modo. L'equazione ha la forma: x ˆ ay by c. Imponi che l'ordinata del vertice, che eá b, sia uguale a : ::::::::: ˆ a Imponi il passaggio per il vertice: 3 ˆ ::::::::::: Imponi il passaggio per il punto 1, 0 : ::::::::: ˆ :::: Risolvi il sistema ottenuto. x ˆ 1 y y 1 Rivedi la teoria III Problema: deteminare l'equazione di una parabola conoscendo le coordinate del fuoco Anche in questo caso si sfruttano le formule che esprimono le coordinate del fuoco; affincheâ il problema sia determinato eá poi necessaria un'ulteriore informazione. ESERCIZIO GUIDA Scriviamo l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha fuoco in F 1, 63 e passa per il punto A 3, 0. Scriviamo le prime due equazioni sfruttando le coordinate del fuoco: l l'ascissa del fuoco deve essere uguale a 1 : b a ˆ 1 l l'ordinata del fuoco deve essere uguale a 63 : 1 a ˆ 63! 1 b ac a ˆ 63 Imponiamo il passaggio per A : 0 ˆ a 3 b 3 c! 9a 3b c ˆ 0 Scriviamo il sistema delle tre equazioni e risolviamolo: b a >< ˆ 1 1 b ac ˆ 63 a >: 9a 3b c ˆ 0 Il sistema eá di secondo grado e ha due soluzioni: < a ˆ b ˆ : c ˆ 6 _ a ˆ 1 3 >< b ˆ 1 16 >: c ˆ 3 3 Esistono quindi due parabole che soddisfano alle condizioni richieste; le loro equazioni sono: y ˆ x x 6 e y ˆ 1 3 x 1 16 x 3 3 LA PARABOLA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

9 PROVA TU Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x che ha fuoco in F 5, e passa per il punto A 1,. L'equazione della parabola ha la forma: x ˆ ay by c. Imponi che l'ascissa del fuoco sia uguale a 5 : :::::::::: ˆ 5 Imponi che l'ordinata del fuoco sia uguale a : ::::::::::: ˆ Imponi il passaggio per A: ::::::::::: ˆ :::: Risolvi il sistema e scrivi l'equazione richiesta. x ˆ y y 5 Fai gli esercizi Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che passa per i punti di coordinate 0,, 1, 0, 1, 6. y ˆ x 3x Š 5 Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y e vertice nell'origine che passa per il punto P 3,. y ˆ 9 x 6 Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y e vertice nell'origine, sapendo che la direttrice ha equazione y ˆ 3. y ˆ 3 x 7 Scrivi l'equazione della parabola che ha per asse di simmetria la retta di equazione x ˆ e passa per i punti di coordinate 0, 1 e 3,. y ˆ x x 1Š Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x che passa per i punti A 1, 0, B, 1, C 1,. x ˆ y y 1Š 9 Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x che ha vertice in V 3, e che passa per A 1, 0. x ˆ 1 y y 1 10 Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x che ha vertice in V, 1 e fuoco in F 3,1. x ˆ 1 y y 3 11 Scrivi l'equazione della parabola che ha vertice in V 0, 1 e direttrice di equazione y ˆ. 1 Scrivi l'equazione della parabola che ha fuoco in F 3, y ˆ 1 1 x 1 e direttrice di equazione x ˆ 5. x ˆ y y 3 13 Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha fuoco in F 3, 1 e passa per l'origine. y ˆ x 3x, y ˆ 9 x 1 3 x Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA LA PARABOLA 9

10 1 Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che taglia l'asse y nel punto di ordinata 1 e passa per i punti A 1, 5 e B, 3. y ˆ 1 x x 1 15 Scrivi l'equazione della parabola che passa per i punti A, 1 e B, 3 e ha direttrice di equazione x ˆ 3. x ˆ 1 y y 5, x ˆ y 3y Rivedi la teoria Posizioni reciproche di una parabola e una retta Per determinare la posizione di una retta rispetto a una parabola si deve: l impostare il sistema retta-parabola l determinare l'equazione risolvente di secondo grado nella variabile x (oppure y a seconda del tipo di parabola) l calcolare il discriminante di questa equazione: se > 0 la retta eá secante la parabola se ˆ 0 la retta eá tangente alla parabola se < 0 la retta non interseca la parabola a. > 0 la retta eá secante b. ˆ 0 la retta eá tangente c. < 0 la retta eá esterna ESERCIZIO GUIDA a. Troviamo, se esistono, le intersezioni tra la parabola di equazione y ˆ x 3x e la retta di equazione x y ˆ 0. y ˆ x 3x Scriviamo il sistema delle due equazioni: x y ˆ 0 x ˆ x 3x Ricaviamo y dalla seconda equazione e sostituiamo: y ˆ x 0 Risolviamo l'equazione in x : x 5x ˆ 0! x ˆ 5 x ˆ 0 x ˆ 5 Soluzioni del sistema: _ y ˆ 0 y ˆ 10 Possiamo cosõá concludere che la retta e la parabola si interecano nei punti di coordinate 0, 0 e 5, 10. b. Verifichiamo che la retta di equazione y ˆ x 1 eá tangente alla parabola di equazione y ˆ x 6x 5 e troviamo le coordinate del punto di tangenza. 10 LA PARABOLA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

11 Scriviamo il sistema formato dalle due equazioni: Sostituiamo l'espressione di y nella prima equazione: y ˆ x 6x 5 y ˆ x 1 x 1 ˆ x 6x 5 y ˆ x 1 Risolviamo l'equazione in x : x x ˆ 0! x ˆ Il sistema ammette due soluzioni coincidenti x ˆ y ˆ 3 Possiamo cosõá concludere che la retta e la parabola sono tangenti nel punto di coordinate, 3. c. Verifichiamo che la retta di equazione y ˆ x 7 non interseca la parabola di equazione y ˆ 3x. Scriviamo il sistema retta-parabola e troviamo l'equazione risolvente: y ˆ x 7! 3x ˆ x 7! 3x x 7 ˆ 0 y ˆ 3x Poiche ˆ 1 ˆ 3 < 0, la retta non interseca la parabola. PROVA TU Determina la posizione della parabola di equazione y ˆ x x 6 rispetto alle seguenti rette e trovane gli eventuali punti di intersezione. a. y ˆ x b. y ˆ x 9 c. y ˆ x 7 a. Imposta il sistema retta-parabola: n ::::::::::::::::: ::::::::::::::::: Trova l'equazione risolvente e determinane le soluzioni: x ˆ :::::::::::: La retta interseca la parabola in due punti distinti. Prosegui la risoluzione del sistema e trova le coordinate dei punti. Ripeti la stessa procedura con le altre due rette. a:, 0 ;, 6 ; b: non si intersecano; c: tangente in 1, 6 Š Fai gli esercizi Trova, se esistono, le coordinate dei punti di intersezione delle seguenti parabole con le rette date. 16 y ˆ x x 1 y ˆ x 3 nessun punto di intersezioneš 17 y ˆ x x y ˆ x 3 A 1, 7 ; B 3, 6 1 y ˆ x x x y 1 ˆ 0 A 3, 1 ; B 1, 3 19 y ˆ x x y ˆ x 9 A 3, 3 Š Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA LA PARABOLA 11

12 Rivedi la teoria Come trovare la retta tangente a una parabola Dato un punto P x 0, y 0, vogliamo scrivere le equazioni delle rette tangenti alla parabola y ˆ ax bx c (oppure x ˆ ay by c) che passano per P. Per risolvere il problema: l scriviamo l'equazione della retta per P : y y0 ˆ m x x 0 l l scriviamo il sistema retta-parabola troviamo l'equazione risolvente l calcoliamo il discriminante e imponiamo che sia uguale a zero: ˆ 0. Se il punto P appartiene alla parabola, oltre a questo metodo se ne possono usare due piuá semplici nel calcolo. l Troviamo il coefficiente angolare della retta con la formula: m ˆ ax 0 b se la parabola eá y ˆ ax bx c 1 m ˆ se la parabola eá x ˆ ay by c ay 0 b Scriviamo poi l'equazione della retta per P di coefficiente angolare m. l Usiamo le formule di sdoppiamento ponendo nell'equazione della parabola, a seconda della forma: x 0 x al posto di x y 0 y al posto di y 1 x 0 x al posto di x 1 y 0 y al posto di y ESERCIZIO GUIDA a. Data la parabola y ˆ x, vogliamo trovare le equazioni delle rette ad essa tangenti che passano per il punto P 1, 6 : Il punto P non appartiene alla parabola (le sue coordinate non ne soddisfano l'equazione). Scriviamo l'equazione del fascio di rette di centro P : y 6 ˆ mx 1 Mettiamo in sistema l'equazione della parabola con quella del fascio di rette y ˆ x y 6 ˆ mx 1 Sostituiamo l'espressione di y ricavata dall'equazione della retta e troviamo l'equazione risolvente: y ˆ mx 1 6 equazione risolvente x mx m ˆ 0 mx 1 6 ˆ x Condizione di tangenza ˆ 0 m m ˆ 0 p Risolvendo questa equazione troviamo m ˆ 3 1 LA PARABOLA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

13 Le rette tangenti sono due ed hanno equazione p y ˆ p p 3 x 1 6 cioeá y ˆ 3 x 3 p y ˆ p p 3 x 1 6 cioeá y ˆ 3 x 3 b. Scriviamo l'equazione della retta tangente alla parabola di equazione y ˆ x x passante per il suo punto P di ascissa 1. L'ordinata del punto di ottiene sostituendo 1 nell'equazione della parabola: y ˆ 1 ˆ 1! P 1, 1 I metodo. Troviamo il coefficiente angolare: m ˆ ax 0 b ˆ 1 1 ˆ Scriviamo l'equazione della retta: y 1 ˆ x 1! y ˆ x 3 II metodo. Applichiamo le formule di sdoppiamento: 1 x 0 x ˆ 1 x ˆ x x x 0 ˆ1 x 1 1 y y 0 ˆ1 y 1 Sostituiamo nell'equazione della parabola: y ˆ x 1 x diventa y 1 ˆ x 1 x 1 Svolgendo i calcoli otteniamo y ˆ x 3. c. Scriviamo l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che passa per i punti A 0, e B 1, 6 ed eá tangente alla retta di equazione y ˆ x 1. Imponiamo il passaggio per A : Imponiamo il passaggio per B : c ˆ 6 ˆ a b c Per ottenere la condizione di tangenza scriviamo il sistema parabola-retta, troviamo l'equazione risolvente e imponiamo che sia ˆ 0 : y ˆ ax bx c sistema: y ˆ x 1 equazione risolvente: ax x b 1 c 1 ˆ 0 condizione di tangenza ˆ 0 : b 1 a c 1 ˆ 0 c ˆ >< Scriviamo ora il sistema formato dalle tre equazioni: 6 ˆ a b c >: b 1 a c 1 ˆ 0 Risolvendolo otteniamo: < a ˆ 1 b ˆ 3 : c ˆ _ < a ˆ 9 b ˆ 5 : c ˆ Il problema ammette due soluzioni, le parabole di equazioni: y ˆ x 3x e y ˆ 9x 5x Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA LA PARABOLA 13

14 PROVA TU a. Scrivi l'equazione delle rette tangenti alla parabola y ˆ x x uscenti dal punto P 3, 1. Il punto P non appartiene alla parabola. Scrivi l'equazione della retta per P: y :::::::::: ˆm x :::::::::: Trova l'equazione risolvente il sistema retta-parabola:... p Imponi la condizione di tangenza e trova il valore di m:... m ˆ 5 5 b. Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che passa per A, 0 e che eá tangente alla retta y ˆ x 1 nel suo punto B di ascissa 1. Trova l'ordinata del punto di tangenza:... La parabola passa quindi anche per il punto B 1, :::::. Imponi il passaggio per A :... Imponi il passaggio per B :... Usa la condizione di tangenza m ˆ ax 0 b con m ˆ (il coefficiente angolare della retta tangente). Risolvi il sistema ottenuto e scrivi l'equazione della parabola. y ˆ 5x 1x Fai gli esercizi 0 Scrivi le equazioni delle rette passanti per il punto P assegnato e tangenti alla parabola data. a. y ˆ x x 3 P 0, 3 y ˆ x 3Š b. y ˆ x x P 1, 0 p y ˆ p 3 x 1, y ˆ 3 x 1 c. y ˆ 1 x P, y ˆ x Š d. y ˆ 1 x 1 7 P, y x 9 ˆ 0Š 1 Scrivi l'equazione della parabola avente per asse la retta y ˆ 1 che passa per il punto A 3, 0 ed eá tangente alla retta x y ˆ 0. x ˆ y y 3Š Trova l'equazione della retta tangente alla parabola y ˆ x x che eá parallela alla retta di equazione y ˆ x 3. y ˆ x 1 3 Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che passa per i punti A 0, 1 e B 1, 1 e che eá tangente alla retta y ˆ x 3. y ˆ x 3x 1; y ˆ 9x 11x 1Š Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha vertice in V, 0 ed eá tangente alla retta y ˆ x 1. y ˆ 1 x x 1 1 LA PARABOLA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

15 Verifica del recupero 1 La parabola di equazione y ˆ x 6x 3 ha vertice e fuoco rispettivamente nei punti: a. V 6, 3 F 3,3 b. V 3, 6 F 3, 3 c. V 3, 3 F 3, 5 d. V 3, 6 F 3, 9 La parabola di equazione x ˆ 1 y y ha vertice e asse di simmetria che sono: a. V 5,1 y ˆ 5 b. V 1, 9 x ˆ 1 c. V 9, 1 y ˆ 1 d. V 9, 1 x ˆ 9 10 punti 10 punti 3 Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x che passa per i punti di coordinate, 1,,,, punti Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha vertice in V 0, 3 e passa per A, punti 5 Scrivi l'equazione della retta tangente alla parabola y ˆ x x echeeá perpendicolare alla retta y ˆ 3 x. Trova poi il punto di tangenza. 0 punti 6 Scrivi l'equazione della parabola avente per asse la retta x ˆ 1cheeÁ tangente in A, 1 ad una retta di coefficiente angolare 1. 0 punti Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA LA PARABOLA 15

16 Soluzioni 1 b. c. 3 x ˆ y 3y y ˆ 3 x 3 5 y ˆ 3 x 1 9 ; 1 3 ; y ˆ 1 x x 1 Esercizio Punteggio Punteggio Voto: punteggio 10 1 ˆ 16 LA PARABOLA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA